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2025. 11. 7. · 4 Views
BST에서 k번째 작은 원소 찾기 완벽 가이드
Binary Search Tree의 특성을 활용하여 k번째로 작은 원소를 효율적으로 찾는 방법을 배웁니다. 중위 순회(Inorder Traversal)를 이용한 기본 방법부터 Morris Traversal을 활용한 공간 최적화까지, 실무에서 바로 활용할 수 있는 다양한 접근법을 소개합니다.
목차
- BST의 중위 순회 기초 - 정렬된 순서로 노드 탐색하기
- 반복문을 이용한 중위 순회 - 스택으로 명시적 제어하기
- 카운터를 저장하는 BST 노드 - 추가 정보로 O(log n) 달성하기
- Morris Traversal을 이용한 공간 최적화 - O(1) 공간으로 순회하기
- 이진 탐색 접근법 - 범위를 좁혀가며 찾기
- 범위 기반 탐색 - Lower Bound와 Upper Bound 활용하기
- 제너레이터를 이용한 지연 평가 - 메모리 효율적인 순회
- 두 BST에서 k번째 작은 합 찾기 - 병합 탐색 응용
- 삭제와 함께 동작하는 k번째 원소 - 동적 업데이트 처리
- 병렬 처리를 통한 대규모 BST 탐색 - 멀티스레딩 응용
1. BST의 중위 순회 기초 - 정렬된 순서로 노드 탐색하기
시작하며
여러분이 이진 탐색 트리(BST)를 다루면서 "특정 순서의 원소를 빠르게 찾아야 하는데 어떻게 하지?"라는 고민을 해본 적 있나요? 예를 들어, 사용자 점수 시스템에서 3번째로 높은 점수를 찾거나, 재고 관리 시스템에서 5번째로 저렴한 상품을 찾아야 하는 경우가 있습니다.
이런 문제는 실제 개발 현장에서 자주 발생합니다. 배열이나 리스트를 정렬하면 해결할 수 있지만, 데이터가 이미 BST 구조로 저장되어 있다면 정렬에 O(n log n)의 시간이 소요됩니다.
또한 동적으로 데이터가 추가/삭제되는 환경에서는 매번 정렬하는 것이 비효율적입니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 BST의 중위 순회(Inorder Traversal)입니다.
BST의 특성상 중위 순회를 하면 자동으로 오름차순으로 노드를 방문하게 되므로, k번째 방문하는 노드가 바로 k번째로 작은 원소가 됩니다.
개요
간단히 말해서, 중위 순회는 왼쪽 서브트리 → 현재 노드 → 오른쪽 서브트리 순서로 노드를 방문하는 트리 순회 방법입니다. 왜 이 방법이 필요할까요?
BST는 모든 노드에 대해 "왼쪽 자식 < 부모 < 오른쪽 자식"이라는 속성을 가지고 있습니다. 따라서 중위 순회를 하면 자연스럽게 오름차순으로 노드를 방문하게 됩니다.
예를 들어, 실시간 리더보드 시스템에서 상위 k명을 찾거나, 가격 범위 내에서 n번째 상품을 찾는 경우에 매우 유용합니다. 전통적인 방법과 비교해볼까요?
기존에는 모든 노드를 배열에 담아서 정렬했다면, 이제는 트리 구조 자체를 활용하여 정렬 과정 없이 순서대로 접근할 수 있습니다. 중위 순회의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 재귀적 구조로 구현이 간단하고, 2) BST의 정렬된 속성을 그대로 활용하며, 3) k번째 원소를 찾는 경우 최악의 경우에도 O(n) 시간에 해결할 수 있습니다.
이러한 특징들이 BST를 활용한 검색 문제에서 왜 중요한지 이해하는 것이 핵심입니다.
코드 예제
class TreeNode:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right
def kthSmallest(root, k):
# 카운터와 결과를 저장할 리스트 (nonlocal 변수 대신 사용)
result = []
def inorder(node):
if not node or len(result) >= k:
return
# 왼쪽 서브트리 방문
inorder(node.left)
# 현재 노드 처리
result.append(node.val)
# 오른쪽 서브트리 방문 (k개 찾았으면 중단)
if len(result) < k:
inorder(node.right)
inorder(root)
return result[k-1] if len(result) >= k else None
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 BST에서 중위 순회를 수행하면서 k번째로 작은 원소를 찾아 반환합니다. 재귀적으로 트리를 탐색하면서 결과 리스트에 노드 값을 순서대로 저장합니다.
코드를 단계별로 살펴보겠습니다. 첫 번째로, inorder 함수는 현재 노드가 없거나 이미 k개의 원소를 찾았으면 즉시 종료합니다.
이는 불필요한 탐색을 방지하여 효율성을 높입니다. 왜 이렇게 하냐면, k개를 이미 찾았다면 더 이상 탐색할 필요가 없기 때문입니다.
그 다음으로, inorder(node.left)가 실행되면서 왼쪽 서브트리를 먼저 완전히 탐색합니다. 재귀 호출이 스택에 쌓이면서 가장 왼쪽 리프 노드까지 도달하고, 그곳에서부터 값을 수집하기 시작합니다.
BST의 속성상 가장 왼쪽 노드가 가장 작은 값이므로, 여기서부터 오름차순으로 값이 수집됩니다. 현재 노드의 값을 result 리스트에 추가한 후, 아직 k개를 채우지 못했다면 오른쪽 서브트리를 탐색합니다.
마지막으로, 모든 재귀가 완료되면 result 리스트의 k-1 인덱스(0-based)에 있는 값이 k번째로 작은 원소가 됩니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 BST에 저장된 데이터에서 순위 기반 검색을 효율적으로 수행할 수 있습니다.
예를 들어, 실시간 점수 시스템에서 메달 순위를 결정하거나, 가격 필터링 시스템에서 특정 순위의 상품을 찾는 등의 작업에 활용할 수 있습니다. 또한 코드가 간결하고 BST의 구조를 그대로 활용하므로 유지보수가 쉽다는 장점도 있습니다.
실전 팁
💡 k개를 찾은 후 즉시 탐색을 중단하는 조기 종료 로직을 반드시 포함하세요. 이를 통해 평균적으로 전체 트리의 일부만 탐색하게 되어 성능이 크게 향상됩니다.
💡 흔한 실수: k가 트리의 노드 개수보다 큰 경우를 처리하지 않는 것입니다. 항상 결과 리스트의 길이를 확인하여 None이나 예외를 반환하도록 방어 코드를 작성하세요.
💡 재귀 깊이가 트리의 높이에 비례하므로, 불균형한 트리에서는 스택 오버플로우가 발생할 수 있습니다. 실무에서는 AVL 트리나 Red-Black 트리같은 균형 잡힌 BST를 사용하는 것이 안전합니다.
💡 디버깅 시에는 각 노드 방문 순서를 로깅해보세요. 중위 순회가 정말 오름차순으로 동작하는지 확인할 수 있으며, 논리 오류를 빠르게 찾을 수 있습니다.
💡 같은 BST에서 여러 k값으로 반복 검색해야 한다면, 한 번의 중위 순회로 모든 값을 리스트에 저장해두고 재사용하는 것이 효율적입니다.
2. 반복문을 이용한 중위 순회 - 스택으로 명시적 제어하기
시작하며
여러분이 재귀 함수를 사용하다가 "스택 오버플로우 에러"를 만난 적 있나요? 특히 깊이가 깊은 트리나 불균형한 BST를 다룰 때, 재귀 호출이 너무 깊어져서 시스템 스택이 부족해지는 경우가 있습니다.
실제로 프로덕션 환경에서 수백만 개의 노드를 가진 트리를 처리할 때 이런 문제가 발생할 수 있습니다. 이런 문제는 재귀의 깊이 제한 때문에 발생합니다.
Python의 기본 재귀 깊이 제한은 약 1000이며, 이를 초과하면 RecursionError가 발생합니다. 또한 재귀는 함수 호출 오버헤드가 있어서 반복문보다 느릴 수 있습니다.
바로 이럴 때 필요한 것이 스택을 사용한 반복적 중위 순회입니다. 명시적으로 스택을 관리함으로써 재귀의 깊이 제한 문제를 해결하고, 메모리 사용을 더 세밀하게 제어할 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 반복적 중위 순회는 재귀 대신 명시적인 스택 자료구조를 사용하여 트리를 순회하는 방법입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
시스템 콜 스택은 제한적이지만, 힙 메모리에 생성하는 스택은 훨씬 큰 용량을 사용할 수 있습니다. 따라서 매우 큰 트리를 다룰 때 반복적 방법이 더 안전합니다.
예를 들어, 대용량 데이터베이스 인덱스나 파일 시스템 트리 같은 경우에 매우 유용합니다. 전통적인 재귀 방법과 비교해볼까요?
기존에는 시스템 콜 스택에 의존했다면, 이제는 우리가 직접 스택을 관리하여 순회 과정을 완전히 제어할 수 있습니다. 반복적 중위 순회의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 재귀 깊이 제한이 없어 매우 큰 트리도 처리 가능하고, 2) 순회 과정을 중간에 멈추고 재개하기 쉬우며, 3) 메모리 사용량을 명시적으로 제어할 수 있습니다.
이러한 특징들이 실무에서 안정성과 확장성을 보장하는 데 중요한 역할을 합니다.
코드 예제
def kthSmallestIterative(root, k):
# 명시적 스택을 사용한 반복적 중위 순회
stack = []
current = root
count = 0
while current or stack:
# 가장 왼쪽 노드까지 이동하며 스택에 저장
while current:
stack.append(current)
current = current.left
# 스택에서 노드를 꺼내서 처리
current = stack.pop()
count += 1
# k번째 노드를 찾았으면 반환
if count == k:
return current.val
# 오른쪽 서브트리로 이동
current = current.right
return None # k가 노드 개수보다 큰 경우
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 스택 자료구조를 명시적으로 사용하여 BST를 중위 순회하면서 k번째로 작은 원소를 찾습니다. 재귀 대신 while 루프를 사용하여 모든 과정을 제어합니다.
코드를 단계별로 나누어 설명하겠습니다. 첫 번째로, 외부 while 루프는 current 노드가 있거나 스택에 노드가 남아있는 동안 계속 실행됩니다.
이는 모든 노드를 빠짐없이 방문하기 위한 조건입니다. 내부 while 루프에서는 현재 노드에서 시작하여 가장 왼쪽 노드까지 이동하면서 경로상의 모든 노드를 스택에 저장합니다.
이렇게 하는 이유는 중위 순회에서 왼쪽 서브트리를 먼저 처리해야 하기 때문입니다. 그 다음으로, 스택에서 노드를 하나 꺼내면 그것이 현재 방문해야 할 노드입니다.
count를 1 증가시키고, 만약 count가 k와 같다면 바로 그 노드의 값을 반환합니다. 이는 정확히 k번째로 작은 원소를 찾은 것입니다.
노드를 처리한 후에는 오른쪽 자식으로 이동합니다. 오른쪽 자식이 있다면 다시 내부 while 루프가 실행되어 그 서브트리의 가장 왼쪽까지 이동하고, 없다면 스택에서 다음 노드를 꺼내게 됩니다.
이 과정이 반복되면서 전체 트리가 오름차순으로 순회됩니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 재귀 깊이 제한 걱정 없이 대규모 트리를 안전하게 처리할 수 있습니다.
특히 실무에서 데이터 크기를 예측하기 어려운 경우나, 트리가 불균형할 가능성이 있는 경우에 반복적 방법이 더 안정적입니다. 또한 디버깅 시 스택의 상태를 직접 확인할 수 있어 문제 파악이 쉽다는 장점도 있습니다.
실전 팁
💡 스택과 current 포인터를 함께 사용하는 패턴을 완전히 이해하세요. current는 "다음에 방문할 노드"를, 스택은 "나중에 방문할 부모 노드들"을 의미합니다.
💡 흔한 실수: 외부 while 조건을 while stack:으로만 작성하는 것입니다. current도 포함해야 첫 번째 왼쪽 경로를 제대로 처리할 수 있습니다.
💡 메모리 최적화: 스택의 최대 크기는 트리의 높이와 같으므로, 균형 잡힌 트리에서는 O(log n)의 공간만 사용합니다. 이를 모니터링하여 트리의 균형 상태를 파악할 수 있습니다.
💡 이 패턴은 중위 순회뿐만 아니라 전위, 후위 순회에도 응용 가능합니다. 스택에서 노드를 꺼내는 시점과 자식 방문 순서만 조정하면 됩니다.
💡 제너레이터로 구현하면 더욱 강력합니다. yield를 사용하여 k번째뿐 아니라 필요할 때마다 다음 원소를 가져올 수 있는 이터레이터를 만들 수 있습니다.
3. 카운터를 저장하는 BST 노드 - 추가 정보로 O(log n) 달성하기
시작하며
여러분이 k번째 원소를 자주 찾아야 하는 시스템을 개발한다면 어떨까요? 예를 들어, 실시간 랭킹 시스템에서 매초 수천 명의 사용자가 "내 순위는?" 또는 "10위는 누구?"라는 쿼리를 날린다고 상상해보세요.
기존 중위 순회 방식은 매번 O(n) 시간이 소요되어 성능 병목이 발생합니다. 이런 문제는 데이터 규모가 커질수록 심각해집니다.
백만 개의 노드를 가진 트리에서 매번 순회하는 것은 현실적으로 불가능합니다. 사용자는 빠른 응답을 기대하지만, 시스템은 점점 느려지게 됩니다.
바로 이럴 때 필요한 것이 각 노드에 왼쪽 서브트리의 노드 개수를 저장하는 방법입니다. 이 추가 정보를 활용하면 BST의 이진 탐색 속성을 그대로 활용하여 O(h) 시간에, 균형 트리에서는 O(log n) 시간에 k번째 원소를 찾을 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 이 방법은 각 노드에 왼쪽 서브트리의 노드 개수(leftCount)를 저장하여, k번째 원소를 찾을 때 어느 방향으로 갈지 즉시 결정할 수 있게 하는 최적화 기법입니다. 왜 이 방법이 필요할까요?
leftCount를 알면 현재 노드가 전체에서 몇 번째인지 즉시 알 수 있습니다. "왼쪽 서브트리 개수 + 1 = 현재 노드의 순위"이기 때문입니다.
예를 들어, 게임 리더보드, 주식 거래 시스템, 실시간 통계 대시보드처럼 순위 기반 쿼리가 빈번한 시스템에서 매우 유용합니다. 전통적인 중위 순회 방법과 비교해볼까요?
기존에는 무조건 모든 노드를 순회해야 했다면, 이제는 이진 탐색처럼 매 단계마다 절반씩 탐색 범위를 줄여나갈 수 있습니다. 이 방법의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 시간 복잡도가 O(n)에서 O(log n)으로 극적으로 향상되고, 2) 노드 삽입/삭제 시 leftCount 업데이트가 필요하지만 이 역시 O(log n)이며, 3) 추가 메모리는 각 노드당 정수 하나뿐입니다.
이러한 특징들이 대규모 실시간 시스템에서 왜 중요한지는 명백합니다.
코드 예제
class TreeNodeWithCount:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right
self.leftCount = 0 # 왼쪽 서브트리의 노드 개수
def kthSmallestOptimized(root, k):
current = root
while current:
# 왼쪽 서브트리 개수 + 1 = 현재 노드의 순위
current_rank = current.leftCount + 1
if k == current_rank:
# 정확히 k번째 노드를 찾음
return current.val
elif k < current_rank:
# k가 더 작으면 왼쪽 서브트리로 이동
current = current.left
else:
# k가 더 크면 오른쪽 서브트리로 이동
# 왼쪽 서브트리와 현재 노드를 제외한 나머지에서 찾기
k -= current_rank
current = current.right
return None # k가 범위를 벗어난 경우
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 각 노드가 왼쪽 서브트리 개수(leftCount)를 저장하고 있다는 전제하에, 이진 탐색 방식으로 k번째 원소를 O(log n) 시간에 찾습니다. 코드를 단계별로 살펴보겠습니다.
첫 번째로, current_rank를 계산합니다. 왼쪽 서브트리에 leftCount개의 노드가 있으므로, 현재 노드는 왼쪽 서브트리의 모든 노드보다 크고, 따라서 (leftCount + 1)번째 순위를 가집니다.
이 계산이 핵심입니다. 왜냐하면 이 값만 알면 k와 비교하여 어느 방향으로 갈지 즉시 결정할 수 있기 때문입니다.
그 다음으로, k와 current_rank를 비교합니다. 만약 k가 current_rank와 정확히 같다면 현재 노드가 바로 답입니다.
k가 더 작다면, 찾는 원소가 왼쪽 서브트리에 있다는 의미이므로 왼쪽으로 이동합니다. 이때 k 값은 변경하지 않습니다.
왜냐하면 왼쪽 서브트리 내에서도 여전히 k번째로 작은 원소를 찾는 것이기 때문입니다. k가 current_rank보다 크다면, 찾는 원소가 오른쪽 서브트리에 있습니다.
이때 중요한 것은 k를 조정해야 한다는 점입니다. 왼쪽 서브트리와 현재 노드를 제외하면, 오른쪽 서브트리에서는 (k - current_rank)번째로 작은 원소를 찾아야 합니다.
마치 퀵셀렉트 알고리즘처럼 탐색 범위를 절반씩 줄여나가는 것입니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 대규모 데이터셋에서도 빠른 순위 검색이 가능합니다.
예를 들어, 백만 개의 노드를 가진 균형 트리에서도 약 20번의 비교만으로 k번째 원소를 찾을 수 있습니다(log2(1000000) ≈ 20). 이는 실시간 서비스에서 요구하는 응답 시간을 충족하는 성능입니다.
또한 leftCount는 노드 삽입/삭제 시 경로상의 노드들만 업데이트하면 되므로, 동적 데이터셋에서도 효율적으로 유지할 수 있습니다.
실전 팁
💡 leftCount를 유지하려면 노드 삽입/삭제 시 경로상의 모든 조상 노드의 leftCount를 업데이트해야 합니다. 삽입 시 왼쪽으로 가면 +1, 삭제 시 왼쪽에서 제거하면 -1입니다.
💡 흔한 실수: k를 조정할 때 k -= current.leftCount로 작성하는 것입니다. 올바르게는 k -= current_rank여야 현재 노드도 제외됩니다.
💡 성능 최적화: AVL 트리나 Red-Black 트리같은 자가 균형 트리와 함께 사용하면 항상 O(log n) 성능을 보장할 수 있습니다. 불균형 트리에서는 최악의 경우 O(n)으로 퇴화할 수 있습니다.
💡 이 기법은 "Order Statistic Tree"라는 고급 자료구조의 핵심 아이디어입니다. C++ STL의 tree 확장이나 Java의 TreeSet에서 비슷한 기능을 제공합니다.
💡 디버깅 팁: leftCount 값이 항상 실제 왼쪽 서브트리 노드 개수와 일치하는지 검증 함수를 작성하세요. 삽입/삭제 로직에서 버그가 생기면 leftCount가 틀어져 잘못된 결과를 반환합니다.
4. Morris Traversal을 이용한 공간 최적화 - O(1) 공간으로 순회하기
시작하며
여러분이 메모리가 극도로 제한된 임베디드 시스템이나 IoT 디바이스에서 BST를 다뤄야 한다면 어떻게 하시겠습니까? 재귀는 O(h)의 콜 스택을, 반복적 방법은 O(h)의 명시적 스택을 사용합니다.
수백만 노드의 트리에서 이는 상당한 메모리 오버헤드가 될 수 있습니다. 이런 문제는 메모리가 제한적인 환경에서 심각합니다.
예를 들어, 라즈베리 파이나 Arduino 같은 소형 컴퓨터, 또는 메모리를 절약해야 하는 모바일 앱에서는 추가 공간 사용을 최소화해야 합니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 Morris Traversal입니다.
트리의 구조 자체를 임시로 수정하여 스택 없이도 중위 순회를 수행할 수 있는 놀라운 알고리즘입니다. 공간 복잡도가 O(1)로, 추가 메모리를 거의 사용하지 않습니다.
개요
간단히 말해서, Morris Traversal은 트리의 빈 링크(오른쪽 자식이 없는 노드)를 임시로 활용하여 "돌아갈 경로"를 만들어, 스택 없이도 순회할 수 있게 하는 기법입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
메모리 제약이 있는 시스템에서는 O(h)의 추가 공간도 부담이 될 수 있습니다. 특히 트리가 불균형하여 높이가 크다면 더욱 그렇습니다.
예를 들어, 임베디드 데이터베이스, 저전력 센서 네트워크, 메모리 최적화가 중요한 게임 엔진 등에서 매우 유용합니다. 전통적인 방법과 비교해볼까요?
기존에는 반드시 스택이나 재귀를 사용했다면, 이제는 트리의 구조를 영리하게 활용하여 추가 메모리 없이 순회할 수 있습니다. Morris Traversal의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 공간 복잡도가 O(1)로 최소화되고, 2) 시간 복잡도는 여전히 O(n)을 유지하며, 3) 트리를 임시로 수정하지만 순회 후 원상 복구합니다.
이러한 특징들이 메모리 효율성이 중요한 시스템에서 왜 강력한 무기가 되는지 이해하는 것이 중요합니다.
코드 예제
def kthSmallestMorris(root, k):
current = root
count = 0
while current:
if current.left is None:
# 왼쪽 자식이 없으면 현재 노드 처리
count += 1
if count == k:
return current.val
current = current.right
else:
# 왼쪽 서브트리에서 중위 선행자(predecessor) 찾기
predecessor = current.left
while predecessor.right and predecessor.right != current:
predecessor = predecessor.right
if predecessor.right is None:
# 스레드 생성: predecessor -> current
predecessor.right = current
current = current.left
else:
# 스레드 제거: 이미 왼쪽 서브트리를 방문함
predecessor.right = None
count += 1
if count == k:
return current.val
current = current.right
return None
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 추가 스택 없이 트리 구조 자체를 임시로 수정하여 중위 순회를 수행하고, k번째로 작은 원소를 찾습니다. "스레드"라는 임시 링크를 생성하고 제거하면서 진행합니다.
코드를 단계별로 나누어 설명하겠습니다. 첫 번째로, 현재 노드의 왼쪽 자식이 없다면 이는 가장 작은 원소에 도달했다는 의미입니다.
바로 현재 노드를 처리(카운트 증가)하고 오른쪽으로 이동합니다. 이는 Morris Traversal의 베이스 케이스입니다.
왼쪽 자식이 있다면, 중위 선행자(predecessor)를 찾아야 합니다. 선행자란 중위 순회에서 현재 노드 바로 직전에 방문되는 노드로, 왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드입니다.
predecessor를 찾는 while 루프는 왼쪽 서브트리로 한 번 내려간 후 오른쪽으로 끝까지 이동합니다. 단, predecessor.right != current 조건은 이미 생성한 스레드를 만났을 때 멈추기 위함입니다.
그 다음으로, predecessor의 오른쪽이 None이면 아직 왼쪽 서브트리를 방문하지 않은 상태입니다. 이때 스레드를 생성합니다(predecessor.right = current).
이 스레드는 왼쪽 서브트리를 다 순회한 후 현재 노드로 돌아오는 "다리" 역할을 합니다. 그리고 왼쪽으로 이동하여 서브트리 순회를 시작합니다.
만약 predecessor의 오른쪽이 이미 current를 가리키고 있다면, 이는 왼쪽 서브트리 순회가 완료되어 스레드를 통해 돌아온 것입니다. 이때 스레드를 제거하여 트리를 원상 복구하고(predecessor.right = None), 현재 노드를 처리한 후 오른쪽으로 이동합니다.
여러분이 이 코드를 사용하면 메모리 사용을 최소화하면서도 트리를 순회할 수 있습니다. 임베디드 시스템이나 메모리가 중요한 환경에서 특히 유용하며, 순회 후 트리가 완전히 복구되므로 안전합니다.
다만 코드가 복잡하므로 일반적인 상황에서는 가독성이 좋은 재귀나 반복적 방법을 사용하고, 메모리 최적화가 정말 중요한 경우에만 Morris Traversal을 선택하는 것이 좋습니다.
실전 팁
💡 중위 선행자(predecessor)의 개념을 완전히 이해하세요. 왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드가 중위 순회에서 현재 노드 직전에 방문된다는 사실이 Morris Traversal의 핵심입니다.
💡 흔한 실수: predecessor를 찾을 때 predecessor.right != current 조건을 빠뜨리는 것입니다. 이 조건이 없으면 이미 생성한 스레드를 따라 무한 루프에 빠집니다.
💡 트리가 수정되므로 멀티스레드 환경에서는 주의가 필요합니다. 동시에 여러 스레드가 같은 트리를 순회하면 스레드 링크가 충돌하여 예상치 못한 동작이 발생할 수 있습니다.
💡 디버깅이 어려우므로 각 단계에서 트리의 구조를 시각화하는 것이 도움됩니다. 스레드가 생성되고 제거되는 과정을 그림으로 그려보면 알고리즘 이해가 훨씬 쉬워집니다.
💡 성능 측면에서 Morris Traversal은 각 엣지를 최대 2번 방문하므로 시간 복잡도는 O(n)입니다. 상수 계수가 조금 크지만, 메모리 절약이라는 큰 이점이 있습니다.
5. 이진 탐색 접근법 - 범위를 좁혀가며 찾기
시작하며
여러분이 BST의 값 범위를 알고 있고, k번째 원소가 특정 값 이하에 몇 개 있는지 빠르게 계산할 수 있다면 어떨까요? 예를 들어, 점수 시스템에서 모든 점수가 0-100 사이라는 것을 알고 있다면, 이 정보를 활용하여 더 효율적으로 탐색할 수 있을 것입니다.
이런 상황은 실제로 많이 발생합니다. 날짜, 나이, 점수, 순위처럼 값의 범위가 제한된 데이터를 다룰 때, 또는 값의 최소/최대를 미리 알 수 있는 경우에 활용할 수 있습니다.
바로 이럴 때 사용할 수 있는 것이 이진 탐색 기반 접근법입니다. BST의 최소값과 최대값 사이에서 이진 탐색을 수행하면서, 각 중간값보다 작거나 같은 노드의 개수를 세어 k번째 원소를 찾습니다.
개요
간단히 말해서, 이 방법은 값의 범위에서 이진 탐색을 수행하여 "이 값 이하의 노드가 정확히 k개인 값"을 찾는 방식입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
값의 범위가 제한적이고 BST가 매우 크거나 복잡할 때, 값 기반 탐색이 트리 구조 기반 탐색보다 효율적일 수 있습니다. 예를 들어, 시간별 이벤트 로그, 연령별 사용자 통계, 점수 기반 랭킹 시스템처럼 값이 자연스럽게 범위를 가지는 데이터에서 유용합니다.
전통적인 트리 순회 방법과 비교해볼까요? 기존에는 트리의 구조를 따라 이동했다면, 이제는 값의 범위에서 이진 탐색을 수행하여 문제를 해결합니다.
문제를 다른 각도에서 바라보는 것입니다. 이 방법의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 값의 범위가 좁을 때 매우 효율적이고, 2) 트리 구조와 독립적으로 동작하며, 3) "특정 값 이하의 노드 개수 세기" 함수만 구현하면 됩니다.
이러한 특징들이 특정 도메인에서 강력한 도구가 될 수 있습니다.
코드 예제
def countSmallerOrEqual(root, target):
"""BST에서 target 이하의 노드 개수를 센다"""
count = 0
current = root
while current:
if current.val <= target:
# 현재 노드와 왼쪽 서브트리 모두 포함
count += 1 + (current.left.count if hasattr(current.left, 'count') and current.left else 0)
current = current.right
else:
current = current.left
return count
def kthSmallestBinarySearch(root, k):
# BST의 최소값과 최대값 찾기
min_val = root
while min_val.left:
min_val = min_val.left
max_val = root
while max_val.right:
max_val = max_val.right
left, right = min_val.val, max_val.val
result = None
# 값의 범위에서 이진 탐색
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
count = countSmallerOrEqual(root, mid)
if count >= k:
result = mid
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
return result
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 먼저 BST의 최소값과 최대값을 찾고, 그 범위에서 이진 탐색을 수행하여 정확히 k개의 노드가 그보다 작거나 같은 값을 찾습니다. 코드를 단계별로 살펴보겠습니다.
첫 번째로, countSmallerOrEqual 함수는 주어진 target 값 이하의 노드가 몇 개인지 계산합니다. 현재 노드의 값이 target 이하라면, 현재 노드와 왼쪽 서브트리의 모든 노드가 포함됩니다.
왜냐하면 BST의 속성상 왼쪽 서브트리의 모든 값은 현재 노드보다 작기 때문입니다. 그리고 더 큰 값이 있을 수 있는 오른쪽으로 이동합니다.
반대로 현재 노드가 target보다 크다면 왼쪽으로 이동하여 더 작은 값들을 찾습니다. 그 다음으로, 메인 함수는 BST의 최소값과 최대값을 찾습니다.
최소값은 가장 왼쪽 노드, 최대값은 가장 오른쪽 노드입니다. 이 범위가 이진 탐색의 대상입니다.
이진 탐색 단계에서는 중간값(mid)을 계산하고, mid 이하의 노드가 몇 개인지 셉니다. 만약 count가 k 이상이라면, k번째 원소는 mid 이하에 있다는 의미이므로 result를 업데이트하고 범위를 왼쪽으로 줄입니다.
count가 k보다 작다면 k번째 원소는 mid보다 크므로 범위를 오른쪽으로 이동합니다. 이 과정을 반복하면서 정확히 k개의 노드가 그보다 작거나 같은 최소 값을 찾게 됩니다.
여러분이 이 코드를 사용하면 값 범위가 명확한 데이터셋에서 k번째 원소를 찾을 수 있습니다. 특히 값의 범위가 좁거나(예: 나이 0-100, 점수 0-1000), 트리가 매우 불균형하여 구조 기반 탐색이 비효율적인 경우에 유용합니다.
다만 정수가 아닌 값이나 범위가 매우 넓은 경우에는 다른 방법이 더 적합할 수 있습니다.
실전 팁
💡 countSmallerOrEqual 함수를 최적화하면 전체 성능이 향상됩니다. leftCount를 저장한 트리라면 O(log n)에 계산할 수 있습니다.
💡 흔한 실수: 중복 값이 있는 BST에서 이 방법을 사용할 때 주의가 필요합니다. 같은 값을 가진 노드들을 어떻게 처리할지 명확히 정의해야 합니다.
💡 값이 실수(float)인 경우 이진 탐색의 종료 조건을 엡실론 기반으로 조정해야 합니다. 정수가 아니면 정확한 값을 찾기 어려울 수 있습니다.
💡 이 접근법은 "값 기반 이진 탐색"의 좋은 예시입니다. 비슷한 패턴을 활용하여 "특정 값 이상인 노드 개수", "특정 범위 내 노드 개수" 등의 쿼리도 효율적으로 처리할 수 있습니다.
💡 최소값/최대값을 매번 찾는 대신 BST에 캐싱해두면 반복 쿼리 시 성능이 향상됩니다. 노드 삽입/삭제 시 최소/최대값도 함께 업데이트하세요.
6. 범위 기반 탐색 - Lower Bound와 Upper Bound 활용하기
시작하며
여러분이 특정 값 범위 내에서 k번째 원소를 찾아야 한다면 어떻게 하시겠습니까? 예를 들어, "60점 이상 90점 이하 학생 중 10번째로 점수가 낮은 학생"을 찾는다거나, "지난 30일 간의 거래 중 100번째로 큰 거래"를 찾는 경우처럼, 전체가 아닌 특정 범위 내에서의 순위를 구해야 할 때가 있습니다.
이런 문제는 실무에서 매우 흔합니다. 필터링된 데이터 내에서의 통계, 조건부 랭킹, 범위 제한 쿼리 등 데이터 분석과 리포팅에서 자주 등장합니다.
단순히 전체에서 k번째를 찾는 것보다 훨씬 복잡한 요구사항입니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 Lower Bound와 Upper Bound를 활용한 범위 기반 탐색입니다.
BST에서 특정 범위 내의 노드만 선택적으로 방문하면서 k번째 원소를 찾을 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 이 방법은 BST를 순회하면서 주어진 범위(lower ≤ value ≤ upper) 내의 노드만 카운트하여 k번째 원소를 찾는 방식입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
실제 애플리케이션에서는 "전체 중 k번째"보다 "특정 조건을 만족하는 것 중 k번째"를 찾는 경우가 훨씬 많습니다. 예를 들어, 전자상거래에서 "특정 가격대의 상품 중 평점이 n번째로 높은 것", 금융 시스템에서 "특정 기간의 거래 중 m번째로 큰 금액" 같은 쿼리에서 매우 유용합니다.
전통적인 전체 순회 방법과 비교해볼까요? 기존에는 모든 노드를 방문하거나 범위 밖 노드까지 처리했다면, 이제는 범위 조건을 활용하여 불필요한 서브트리를 건너뛸 수 있습니다.
범위 기반 탐색의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 조건에 맞는 노드만 선택적으로 방문하여 효율적이고, 2) BST의 이진 탐색 속성을 활용하여 가지치기(pruning)가 가능하며, 3) 다양한 범위 쿼리에 유연하게 대응할 수 있습니다. 이러한 특징들이 복잡한 비즈니스 로직을 구현할 때 왜 중요한지 명확합니다.
코드 예제
def kthSmallestInRange(root, k, lower, upper):
"""[lower, upper] 범위 내에서 k번째로 작은 원소를 찾는다"""
result = [None] # 결과를 저장할 리스트
count = [0] # 현재까지 센 개수
def inorderRange(node):
if not node or count[0] >= k:
return
# 현재 노드가 lower보다 크면 왼쪽 서브트리 탐색
# (더 작은 값이 있을 수 있음)
if node.val > lower:
inorderRange(node.left)
# 현재 노드가 범위 내에 있으면 처리
if lower <= node.val <= upper:
count[0] += 1
if count[0] == k:
result[0] = node.val
return
# 현재 노드가 upper보다 작으면 오른쪽 서브트리 탐색
# (더 큰 값이 필요할 수 있음)
if node.val < upper and count[0] < k:
inorderRange(node.right)
inorderRange(root)
return result[0]
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 중위 순회를 수행하되, 주어진 범위(lower, upper) 내의 노드만 카운트하고, 그 중 k번째 노드의 값을 반환합니다. 범위 밖의 서브트리는 가지치기하여 효율성을 높입니다.
코드를 단계별로 나누어 설명하겠습니다. 첫 번째로, 왼쪽 서브트리를 탐색할지 결정합니다.
현재 노드의 값이 lower보다 크다면, 왼쪽 서브트리에 범위 내의 값들이 있을 수 있으므로 탐색합니다. 만약 현재 노드가 lower 이하라면, 왼쪽 서브트리의 모든 값은 lower보다 작으므로 건너뛸 수 있습니다.
이것이 바로 가지치기(pruning)의 핵심입니다. 그 다음으로, 현재 노드가 범위 내에 있는지 확인합니다.
lower <= node.val <= upper를 만족하면 이 노드를 카운트에 포함시킵니다. count를 1 증가시키고, 만약 count가 정확히 k라면 찾은 것이므로 결과를 저장하고 종료합니다.
범위 밖의 노드는 카운트하지 않으므로, 오직 조건을 만족하는 노드들만 순위에 포함됩니다. 마지막으로, 오른쪽 서브트리를 탐색할지 결정합니다.
현재 노드의 값이 upper보다 작고 아직 k개를 찾지 못했다면, 오른쪽 서브트리에 더 큰 값들이 있을 수 있으므로 탐색합니다. 현재 노드가 upper 이상이라면, 오른쪽 서브트리의 모든 값은 upper보다 크므로 건너뜁니다.
이렇게 범위 조건을 활용하여 불필요한 탐색을 최소화합니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 복잡한 필터링 조건이 있는 쿼리를 효율적으로 처리할 수 있습니다.
예를 들어, 특정 날짜 범위의 데이터, 특정 가격대의 상품, 특정 점수 구간의 학생 등 실무에서 자주 마주치는 조건부 랭킹 문제를 해결할 수 있습니다. 또한 범위를 동적으로 변경하면서 다양한 쿼리를 수행할 수 있어, 대화형 데이터 탐색 도구나 실시간 대시보드 구현에 유용합니다.
실전 팁
💡 가지치기 조건을 정확히 이해하세요. node.val > lower일 때만 왼쪽으로, node.val < upper일 때만 오른쪽으로 가는 것이 핵심입니다. 등호의 위치가 중요합니다.
💡 흔한 실수: 범위 체크를 누락하거나 잘못된 순서로 배치하는 것입니다. 항상 서브트리 탐색 전에 현재 노드가 범위를 벗어나는지 확인하여 불필요한 재귀를 방지하세요.
💡 성능 최적화: 범위가 매우 좁다면 대부분의 서브트리를 건너뛰므로 O(k + log n)에 가까운 성능을 낼 수 있습니다. 범위가 넓을수록 O(n)에 가까워집니다.
💡 이 패턴을 응용하면 "범위 내 노드 개수 세기", "범위 내 합계 구하기", "범위 내 최소/최대값 찾기" 등 다양한 범위 쿼리를 구현할 수 있습니다.
💡 여러 범위 쿼리를 반복 수행해야 한다면, Segment Tree나 Fenwick Tree 같은 고급 자료구조를 고려해보세요. 전처리 후 O(log n)에 범위 쿼리가 가능합니다.
7. 제너레이터를 이용한 지연 평가 - 메모리 효율적인 순회
시작하며
여러분이 BST에서 여러 개의 k값에 대해 순차적으로 원소를 찾아야 한다면 어떻게 하시겠습니까? 예를 들어, "1번째부터 100번째까지 순서대로 출력"하거나, "조건에 맞을 때까지 순서대로 검사"하는 경우처럼, 한 번에 하나씩 필요할 때마다 원소를 가져와야 할 때가 있습니다.
이런 상황은 실무에서 자주 발생합니다. 스트리밍 데이터 처리, 페이지네이션, 점진적 결과 표시 등에서 모든 데이터를 한 번에 메모리에 로드하는 것은 비효율적입니다.
특히 대용량 데이터셋에서는 필요한 만큼만 처리하는 것이 중요합니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 Python의 제너레이터(Generator)를 이용한 지연 평가(Lazy Evaluation)입니다.
BST의 원소를 필요할 때마다 하나씩 생성하여, 메모리를 절약하고 유연성을 높일 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 제너레이터는 모든 값을 한 번에 생성하지 않고, 요청이 있을 때마다 다음 값을 하나씩 생성하여 반환하는 이터레이터입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
백만 개의 노드를 가진 트리에서 처음 10개만 필요한데 모든 노드를 리스트에 담는다면 엄청난 낭비입니다. 제너레이터를 사용하면 필요한 만큼만 생성하고, 조건이 만족되면 즉시 중단할 수 있습니다.
예를 들어, 검색 결과 페이지네이션, 실시간 데이터 스트리밍, 조건부 필터링 같은 경우에 매우 유용합니다. 전통적인 리스트 기반 방법과 비교해볼까요?
기존에는 모든 값을 미리 계산하여 메모리에 저장했다면, 이제는 필요할 때마다 계산하여 메모리 사용을 최소화할 수 있습니다. 제너레이터의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 메모리 효율적으로 무한 시퀀스도 표현 가능하고, 2) 지연 평가로 불필요한 계산을 방지하며, 3) 파이프라인 구성이 쉬워 함수형 프로그래밍 스타일로 코드를 작성할 수 있습니다.
이러한 특징들이 현대적인 Python 프로그래밍에서 왜 중요한지 이해하는 것이 필수적입니다.
코드 예제
def inorderGenerator(root):
"""BST의 중위 순회를 제너레이터로 구현"""
if not root:
return
# 왼쪽 서브트리의 모든 값을 생성
yield from inorderGenerator(root.left)
# 현재 노드의 값을 생성
yield root.val
# 오른쪽 서브트리의 모든 값을 생성
yield from inorderGenerator(root.right)
def kthSmallestGenerator(root, k):
"""제너레이터를 사용하여 k번째 원소 찾기"""
gen = inorderGenerator(root)
# k번째 값을 가져옴
for i, val in enumerate(gen, 1):
if i == k:
return val
return None # k가 범위를 벗어난 경우
# 사용 예시: 여러 k값에 대해 효율적으로 처리
def getMultipleKth(root, k_values):
"""여러 k값에 대한 원소를 효율적으로 찾기"""
gen = inorderGenerator(root)
results = {}
k_values_sorted = sorted(set(k_values))
for i, val in enumerate(gen, 1):
if i in k_values_sorted:
results[i] = val
if len(results) == len(k_values_sorted):
break
return [results.get(k) for k in k_values]
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 yield 키워드를 사용하여 BST의 원소를 지연 평가 방식으로 하나씩 생성하는 제너레이터를 구현합니다. 필요한 만큼만 계산하므로 메모리와 시간을 절약할 수 있습니다.
코드를 단계별로 살펴보겠습니다. 첫 번째로, yield from inorderGenerator(root.left)는 왼쪽 서브트리의 제너레이터를 현재 제너레이터에 연결합니다.
yield from은 Python 3.3+의 문법으로, 서브 제너레이터의 모든 값을 하나씩 전달하는 편리한 방법입니다. 왼쪽 서브트리의 모든 값이 먼저 생성되므로, 중위 순회의 순서가 보장됩니다.
그 다음으로, yield root.val은 현재 노드의 값을 생성합니다. yield가 실행되면 함수는 일시 중지되고, 호출자가 next()를 다시 호출할 때까지 기다립니다.
이것이 바로 지연 평가의 핵심입니다. 값이 실제로 필요할 때까지 계산을 미루는 것입니다.
마지막으로, 오른쪽 서브트리의 제너레이터를 연결하여 더 큰 값들을 생성합니다. 전체 과정이 재귀적으로 동작하면서, 트리의 모든 노드를 오름차순으로 하나씩 생성하는 이터레이터가 완성됩니다.
getMultipleKth 함수는 제너레이터의 강력함을 보여줍니다. 여러 k값에 대한 원소를 찾을 때, 제너레이터를 한 번만 순회하면서 모든 결과를 수집할 수 있습니다.
예를 들어, k=[3, 7, 10]이라면 10번째까지만 순회하고 중단하므로, 전체 트리를 방문하지 않아도 됩니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 메모리 효율적인 데이터 처리 파이프라인을 구축할 수 있습니다.
예를 들어, 대용량 로그 파일을 분석하거나, 무한 데이터 스트림을 처리하거나, 웹 API에서 페이지네이션을 구현할 때 제너레이터가 완벽한 도구가 됩니다. 또한 제너레이터는 composable하여 여러 단계의 처리를 체인으로 연결할 수 있다는 장점도 있습니다.
실전 팁
💡 yield from을 활용하면 재귀적 제너레이터를 간결하게 작성할 수 있습니다. for item in gen: yield item 대신 yield from gen을 사용하세요.
💡 흔한 실수: 제너레이터는 한 번만 소비할 수 있습니다. 같은 제너레이터를 여러 번 순회하려면 매번 새로 생성해야 합니다. 필요하다면 itertools.tee()를 사용하여 복제하세요.
💡 성능 최적화: 제너레이터 표현식 (x for x in iterable)은 리스트 컴프리헨션 [x for x in iterable]보다 메모리 효율적입니다. 대용량 데이터는 항상 제너레이터로 처리하세요.
💡 디버깅 시 제너레이터의 상태를 확인하려면 list(gen)으로 변환할 수 있지만, 이는 모든 값을 소비하므로 주의가 필요합니다. 개발 중에는 islice(gen, 10)로 처음 몇 개만 확인하세요.
💡 제너레이터와 itertools 모듈을 함께 사용하면 강력한 데이터 처리 파이프라인을 만들 수 있습니다. filter(), map(), takewhile() 등과 조합해보세요.
8. 두 BST에서 k번째 작은 합 찾기 - 병합 탐색 응용
시작하며
여러분이 두 개의 BST를 동시에 다뤄야 하는 상황을 만난 적 있나요? 예를 들어, 두 서로 다른 데이터베이스 샤드에서 데이터를 병합하거나, 두 시간대의 이벤트를 합쳐서 분석하는 경우처럼, 여러 정렬된 소스를 효율적으로 결합해야 할 때가 있습니다.
이런 문제는 분산 시스템에서 흔히 발생합니다. 각 서버가 자체 BST를 유지하고 있을 때, 전체에서 k번째 원소를 찾거나 상위 k개를 병합하는 작업은 단순하지 않습니다.
모든 데이터를 한 곳으로 모아서 정렬하면 비효율적이고 메모리 소비가 큽니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 두 정렬된 시퀀스를 동시에 순회하면서 병합하는 기법입니다.
각 BST의 제너레이터를 활용하여 메모리 효율적으로 병합하고, k번째로 작은 원소를 찾을 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 이 방법은 두 BST를 각각 중위 순회하는 제너레이터를 만들고, 병합 정렬(Merge Sort)의 병합 과정처럼 두 스트림을 하나로 합치면서 k번째 원소를 찾는 방식입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
분산 데이터베이스, 멀티소스 로그 집계, 여러 센서의 시계열 데이터 병합 같은 경우에 각 소스가 이미 정렬되어 있다면 그 정렬성을 활용하는 것이 효율적입니다. 예를 들어, 글로벌 랭킹 시스템에서 각 지역의 랭킹 트리를 병합하거나, 여러 주식 거래소의 거래 기록을 시간순으로 통합하는 경우에 매우 유용합니다.
전통적인 방법과 비교해볼까요? 기존에는 두 트리의 모든 값을 리스트에 담아 정렬했다면, 이제는 두 정렬된 스트림을 실시간으로 병합하여 k개만 처리하고 중단할 수 있습니다.
병합 탐색의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 두 정렬된 소스를 O(k) 시간에 병합할 수 있고, 2) 메모리 사용이 O(1)로 매우 효율적이며, 3) 스트리밍 방식으로 실시간 처리가 가능합니다. 이러한 특징들이 대규모 분산 시스템에서 왜 중요한 역할을 하는지 명백합니다.
코드 예제
from itertools import islice
def inorderGenerator(root):
"""BST를 중위 순회하는 제너레이터"""
if not root:
return
yield from inorderGenerator(root.left)
yield root.val
yield from inorderGenerator(root.right)
def kthSmallestInMergedTrees(root1, root2, k):
"""두 BST를 병합하여 k번째로 작은 원소 찾기"""
gen1 = inorderGenerator(root1)
gen2 = inorderGenerator(root2)
# 각 제너레이터에서 첫 값을 가져옴
val1 = next(gen1, None)
val2 = next(gen2, None)
count = 0
# 병합 정렬 방식으로 두 스트림을 합침
while val1 is not None or val2 is not None:
# 더 작은 값을 선택
if val2 is None or (val1 is not None and val1 <= val2):
count += 1
if count == k:
return val1
val1 = next(gen1, None)
else:
count += 1
if count == k:
return val2
val2 = next(gen2, None)
return None # k가 전체 노드 개수보다 큰 경우
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 두 개의 BST에서 각각 제너레이터를 생성하고, 병합 정렬의 병합 단계처럼 두 정렬된 스트림을 하나로 합치면서 k번째로 작은 원소를 찾습니다. 코드를 단계별로 나누어 설명하겠습니다.
첫 번째로, 각 트리에 대해 제너레이터를 생성하고 첫 번째 값을 가져옵니다. next(gen, None)을 사용하면 제너레이터가 비어있을 때 None을 반환하므로 안전하게 처리할 수 있습니다.
val1과 val2는 현재 각 스트림에서 처리 중인 값을 나타냅니다. 그 다음으로, while 루프에서 적어도 하나의 스트림에 값이 남아있는 동안 계속 실행합니다.
매 반복마다 val1과 val2를 비교하여 더 작은 값을 선택합니다. 이것이 병합 정렬의 핵심 아이디어입니다.
만약 val2가 None이거나 val1이 더 작다면 val1을 선택하고, 그렇지 않으면 val2를 선택합니다. 선택된 값을 카운트하고, count가 정확히 k라면 그 값을 반환합니다.
그리고 사용한 제너레이터에서 다음 값을 가져와 준비합니다. 이 과정이 반복되면서 두 트리의 값들이 오름차순으로 병합되고, k번째 값에 도달하면 즉시 종료됩니다.
여러분이 이 코드를 사용하면 여러 정렬된 데이터 소스를 효율적으로 병합할 수 있습니다. 예를 들어, 마이크로서비스 아키텍처에서 각 서비스의 로컬 데이터를 병합하거나, 시계열 데이터베이스의 여러 파티션을 통합하는 경우에 유용합니다.
이 패턴은 n개의 BST로 확장 가능하며(힙을 사용하여), k-way 병합 알고리즘의 기초가 됩니다. 또한 스트리밍 방식이므로 무한 스트림도 처리할 수 있다는 강점이 있습니다.
실전 팁
💡 n개의 BST를 병합해야 한다면 최소 힙(min heap)을 사용하세요. 각 제너레이터의 현재 값을 힙에 넣고, 매번 최소값을 꺼내는 방식으로 O(k log n) 시간에 병합할 수 있습니다.
💡 흔한 실수: None 체크를 빠뜨리면 제너레이터가 고갈되었을 때 StopIteration 예외가 발생합니다. 항상 next(gen, None) 형태로 기본값을 지정하세요.
💡 성능 최적화: 두 트리의 크기 차이가 크다면, 작은 트리의 모든 값이 큰 트리의 첫 부분보다 작은지 미리 확인하세요. 그렇다면 작은 트리만 순회하면 됩니다.
💡 이 패턴은 외부 정렬(External Sort)의 병합 단계와 동일합니다. 메모리에 다 올릴 수 없는 대용량 데이터를 정렬할 때 사용하는 기법을 이해하면 도움이 됩니다.
💡 실전에서는 heapq.merge() 함수를 활용할 수 있습니다. 여러 정렬된 이터러블을 효율적으로 병합하는 내장 함수로, 직접 구현하는 것보다 간결하고 빠릅니다.
9. 삭제와 함께 동작하는 k번째 원소 - 동적 업데이트 처리
시작하며
여러분이 실시간으로 데이터가 추가되고 삭제되는 환경에서 항상 k번째 원소를 추적해야 한다면 어떻게 하시겠습니까? 예를 들어, 실시간 리더보드에서 사용자가 계속 점수를 갱신하고, 새로운 사용자가 가입하며, 비활성 사용자가 제거되는 상황에서 "현재 10위는 누구?"라는 질문에 즉시 답해야 합니다.
이런 문제는 동적 데이터를 다루는 모든 시스템에서 발생합니다. 단순히 한 번 k번째를 찾는 것이 아니라, 데이터가 변경될 때마다 k번째 원소를 효율적으로 업데이트해야 합니다.
매번 전체 순회를 하면 실시간 응답이 불가능합니다. 바로 이럴 때 필요한 것이 augmented BST(증강된 BST)입니다.
각 노드에 서브트리 크기를 저장하여 삽입/삭제 시에도 O(log n) 시간에 k번째 원소를 찾을 수 있도록 합니다.
개요
간단히 말해서, augmented BST는 각 노드에 추가 정보(서브트리 크기, 왼쪽 자식 개수 등)를 저장하여, 구조 변경 시에도 효율적으로 통계 쿼리를 지원하는 자료구조입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
삽입과 삭제가 빈번한 환경에서도 순위 쿼리가 필요한 경우가 많습니다. 예를 들어, 온라인 게임 랭킹, 주식 거래 시스템의 호가창, 실시간 통계 대시보드처럼 데이터가 계속 변하면서도 순위나 순서 정보를 빠르게 제공해야 하는 시스템에서 매우 유용합니다.
정적인 BST와 비교해볼까요? 기존에는 데이터가 변경되면 모든 쿼리를 다시 계산해야 했다면, augmented BST는 변경된 경로상의 노드만 업데이트하여 O(log n) 시간에 일관성을 유지합니다.
Augmented BST의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 삽입/삭제/검색이 모두 O(log n)으로 균형을 이루고, 2) 추가 정보를 유지하는 오버헤드가 작으며, 3) 다양한 통계 쿼리를 효율적으로 지원합니다. 이러한 특징들이 고성능 실시간 시스템의 핵심 구성 요소가 됩니다.
코드 예제
class AugmentedTreeNode:
def __init__(self, val):
self.val = val
self.left = None
self.right = None
self.size = 1 # 이 노드를 루트로 하는 서브트리의 크기
def getSize(node):
"""노드의 서브트리 크기를 안전하게 가져옴"""
return node.size if node else 0
def updateSize(node):
"""노드의 size를 자식들의 size로부터 갱신"""
if node:
node.size = 1 + getSize(node.left) + getSize(node.right)
def insert(root, val):
"""값을 삽입하고 경로상의 모든 노드의 size를 업데이트"""
if not root:
return AugmentedTreeNode(val)
if val < root.val:
root.left = insert(root.left, val)
else:
root.right = insert(root.right, val)
# 삽입 후 size 업데이트
updateSize(root)
return root
def kthSmallestAugmented(root, k):
"""Augmented BST에서 k번째 원소 찾기"""
if not root:
return None
left_size = getSize(root.left)
if k == left_size + 1:
return root.val
elif k <= left_size:
return kthSmallestAugmented(root.left, k)
else:
return kthSmallestAugmented(root.right, k - left_size - 1)
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 각 노드가 자신을 루트로 하는 서브트리의 전체 크기(size)를 저장하고, 삽입/삭제 시 이를 유지하면서 O(log n) 시간에 k번째 원소를 찾을 수 있게 합니다. 코드를 단계별로 살펴보겠습니다.
첫 번째로, getSize 함수는 None-safe하게 노드의 size를 반환합니다. 노드가 None이면 0을, 그렇지 않으면 저장된 size를 반환하여 경계 조건을 간단하게 처리합니다.
updateSize 함수는 현재 노드의 size를 "1(자신) + 왼쪽 서브트리 크기 + 오른쪽 서브트리 크기"로 갱신합니다. 그 다음으로, insert 함수는 표준 BST 삽입을 수행하되, 재귀가 되돌아오는 과정에서 모든 조상 노드의 size를 업데이트합니다.
새 노드가 삽입되면 루트까지의 경로상의 모든 노드는 서브트리 크기가 1씩 증가해야 하므로, updateSize(root)를 호출하여 이를 반영합니다. 이 업데이트는 O(h) = O(log n) 시간만 소요됩니다.
kthSmallestAugmented 함수는 size 정보를 활용하여 매우 효율적으로 동작합니다. 왼쪽 서브트리의 크기를 확인하여, k가 left_size + 1이면 현재 노드가 답입니다.
k가 더 작으면 왼쪽으로, k가 더 크면 오른쪽으로 이동하되 k를 조정합니다. 이진 탐색과 유사한 방식으로 매 단계마다 탐색 공간을 절반으로 줄여나갑니다.
여러분이 이 코드를 사용하면 동적 환경에서도 빠른 순위 쿼리가 가능합니다. 예를 들어, 실시간 게임 랭킹에서 플레이어가 점수를 갱신할 때마다 삽입/삭제가 발생하고, 사용자가 "내 순위는?" 쿼리를 날릴 때마다 즉시 응답할 수 있습니다.
이는 Order Statistic Tree의 핵심 아이디어이며, 많은 고급 라이브러리(C++ __gnu_pbds::tree, Java TreeSet)에서 비슷한 방식을 사용합니다. 균형 트리(AVL, Red-Black)와 결합하면 모든 연산이 O(log n)으로 보장됩니다.
실전 팁
💡 삭제 연산도 구현할 때는 노드를 제거한 후 경로상의 모든 조상 노드의 size를 업데이트해야 합니다. 삽입과 마찬가지로 재귀 반환 시 updateSize를 호출하세요.
💡 흔한 실수: size 업데이트를 잊어버리면 k번째 원소 검색이 틀린 결과를 반환합니다. 모든 구조 변경 연산(삽입, 삭제, 회전)에서 size를 업데이트하는 것을 습관화하세요.
💡 AVL 트리나 Red-Black 트리와 결합할 때는 회전 연산에서도 size를 올바르게 유지해야 합니다. 회전 후 영향받은 노드들의 size를 재계산하세요.
💡 디버깅 팁: 주기적으로 트리를 순회하여 각 노드의 size가 실제 서브트리 크기와 일치하는지 검증하는 함수를 작성하세요. 단위 테스트에서 실행하면 버그를 조기에 발견할 수 있습니다.
💡 성능 모니터링: size 정보는 메모리 오버헤드가 작지만(노드당 정수 하나), 대규모 트리에서는 캐시 지역성을 고려하세요. 노드를 compact하게 배치하면 성능이 향상됩니다.
10. 병렬 처리를 통한 대규모 BST 탐색 - 멀티스레딩 응용
시작하며
여러분이 수백만 또는 수억 개의 노드를 가진 거대한 BST에서 k번째 원소를 찾아야 한다면 어떻게 하시겠습니까? 단일 스레드로 순회하면 시간이 너무 오래 걸리고, 현대의 멀티코어 CPU 자원을 낭비하게 됩니다.
이런 문제는 빅데이터와 고성능 컴퓨팅 환경에서 점점 더 중요해지고 있습니다. 단일 스레드 성능은 한계에 도달했고, 병렬 처리를 통해 성능을 향상시키는 것이 필수입니다.
특히 클라우드 환경에서 멀티코어 인스턴스를 사용할 때 병렬화를 하지 않으면 비용 대비 효율이 떨어집니다. 바로 이럴 때 고려할 수 있는 것이 병렬 트리 탐색입니다.
트리를 여러 서브트리로 분할하여 각각을 별도의 스레드에서 처리하고, 결과를 병합하는 방식으로 성능을 향상시킬 수 있습니다.
개요
간단히 말해서, 병렬 트리 탐색은 트리를 여러 독립적인 서브트리로 분할하고, 각 서브트리를 별도의 스레드 또는 프로세스에서 동시에 처리하여 전체 처리 시간을 단축하는 기법입니다. 왜 이 방법이 필요한지 실무 관점에서 설명하겠습니다.
CPU 코어가 여러 개 있을 때 단일 스레드만 사용하면 나머지 코어는 놀게 됩니다. 병렬화를 통해 여러 코어를 동시에 활용하면 이론적으로 코어 수에 비례하여 성능이 향상됩니다.
예를 들어, 대규모 데이터 분석, 머신러닝 모델 학습 시 데이터 전처리, 과학 계산처럼 계산량이 많은 작업에서 매우 유용합니다. 순차적 탐색과 비교해볼까요?
기존에는 하나의 스레드가 모든 작업을 순서대로 처리했다면, 이제는 여러 스레드가 동시에 작업을 분담하여 훨씬 빠르게 완료할 수 있습니다. 병렬 처리의 핵심 특징은 다음과 같습니다: 1) 멀티코어 CPU를 효율적으로 활용하여 처리 시간을 단축하고, 2) 서브트리 간 독립성이 높아 동기화 오버헤드가 적으며, 3) 데이터 크기가 클수록 병렬화 효과가 커집니다.
이러한 특징들이 현대 컴퓨팅 환경에서 왜 중요한지는 자명합니다.
코드 예제
from concurrent.futures import ThreadPoolExecutor, as_completed
from threading import Lock
def countNodesInSubtree(root):
"""서브트리의 노드 개수를 센다"""
if not root:
return 0
return 1 + countNodesInSubtree(root.left) + countNodesInSubtree(root.right)
def inorderCollect(root, result, lock):
"""중위 순회로 값을 수집 (스레드 안전)"""
if not root:
return
inorderCollect(root.left, result, lock)
with lock:
result.append(root.val)
inorderCollect(root.right, result, lock)
def kthSmallestParallel(root, k, num_workers=4):
"""병렬 처리로 k번째 원소 찾기"""
if not root:
return None
# 트리를 서브트리로 분할
subtrees = []
queue = [root]
# BFS로 num_workers개의 서브트리를 찾음
while len(subtrees) < num_workers and queue:
node = queue.pop(0)
if node:
subtrees.append(node)
if len(subtrees) < num_workers:
if node.left:
queue.append(node.left)
if node.right:
queue.append(node.right)
# 각 서브트리를 병렬로 처리
result = []
lock = Lock()
with ThreadPoolExecutor(max_workers=num_workers) as executor:
futures = [
executor.submit(inorderCollect, subtree, result, lock)
for subtree in subtrees
]
# 모든 작업이 완료될 때까지 대기
for future in as_completed(futures):
future.result()
# 수집된 결과를 정렬하고 k번째 원소 반환
result.sort()
return result[k-1] if k <= len(result) else None
설명
이것이 하는 일: 이 코드는 BST를 여러 서브트리로 나누고, 각 서브트리를 별도의 스레드에서 동시에 순회하여 값을 수집한 후, 결과를 병합하여 k번째 원소를 찾습니다. 코드를 단계별로 나누어 설명하겠습니다.
첫 번째로, BFS(너비 우선 탐색)를 사용하여 트리를 num_workers개의 서브트리로 분할합니다. 루트에서 시작하여 레벨 단위로 노드를 탐색하면서, 워커 수만큼 서브트리를 수집합니다.
이렇게 하면 각 서브트리의 크기가 비교적 균등해져서 작업 부하가 고르게 분산됩니다. 그 다음으로, ThreadPoolExecutor를 사용하여 스레드 풀을 생성하고, 각 서브트리에 대해 inorderCollect 작업을 제출합니다.
각 스레드는 자신이 맡은 서브트리를 중위 순회하면서 값을 공유 리스트(result)에 추가합니다. Lock을 사용하여 여러 스레드가 동시에 리스트를 수정할 때 발생할 수 있는 경쟁 조건(race condition)을 방지합니다.
모든 스레드가 작업을 완료하면, result 리스트에는 트리의 모든 값이 무작위 순서로 담겨 있습니다. 서브트리별로 순서대로 수집했지만, 서브트리 간의 순서는 보장되지 않기 때문입니다.
따라서 result.sort()를 호출하여 전체를 정렬하고, k-1 인덱스의 값을 반환합니다. 여러분이 이 코드를 사용하면 멀티코어 환경에서 대규모 트리 처리 시간을 크게 단축할 수 있습니다.
예를 들어, 4코어 CPU에서 이론적으로 약 4배 가까운 속도 향상을 기대할 수 있습니다(실제로는 오버헤드로 인해 조금 낮음). 다만 주의할 점은 Python의 GIL(Global Interpreter Lock) 때문에 CPU-bound 작업에서는 멀티스레딩보다 멀티프로세싱(ProcessPoolExecutor)이 더 효과적일 수 있다는 것입니다.
또한 트리 크기가 작으면 병렬화 오버헤드가 이득보다 클 수 있으므로, 충분히 큰 데이터셋에서만 사용하세요.
실전 팁
💡 Python의 GIL 때문에 CPU-bound 작업은 ThreadPoolExecutor 대신 ProcessPoolExecutor를 사용하는 것이 더 효과적입니다. I/O-bound 작업만 멀티스레딩으로 처리하세요.
💡 흔한 실수: Lock 없이 공유 자료구조를 수정하면 race condition으로 인해 데이터가 손실되거나 예외가 발생합니다. 항상 적절한 동기화를 사용하세요.
💡 성능 최적화: 각 워커가 로컬 리스트에 값을 수집하고, 마지막에 병합하면 Lock 경합을 줄일 수 있습니다. heapq.merge()로 정렬된 리스트들을 효율적으로 병합하세요.
💡 서브트리 분할 전략이 중요합니다. 균등하게 분할하지 않으면 일부 워커는 일찍 끝나고 다른 워커를 기다리게 되어 효율이 떨어집니다. 트리의 균형 상태를 고려하세요.
💡 대규모 분산 시스템에서는 Apache Spark나 Dask 같은 프레임워크를 사용하면 여러 머신에 걸쳐 병렬 처리할 수 있습니다. 단일 머신의 한계를 넘어서려면 분산 컴퓨팅을 고려하세요.